Nguyên hàm Toán 12 là một nội dung quan trọng trong bộ môn Đại số Giải tích lớp 12 và luyện thi đại học. Để giúp các em nắm vững kiến thức và ôn tập hiệu quả, đã tổng hợp lý thuyết chức năng nguyên thủy Toán 12 gồm các định nghĩa, định lý, công thức nguyên hàm lớp 12 và các dạng bài tập nguyên hàm cơ bản có lời giải chi tiết trong bài viết dưới đây. Các bạn cùng xem và học hỏi nhé!
Lý thuyết Toán 12 Nguyên thủy
Phần nội dung này sẽ tập trung vào phần lý thuyết để các em nắm được bản chất từ đó vận dụng linh hoạt trong việc giải bài tập.
Định nghĩa nguyên thủy
- Cho hàm số f (x) xác định trên K (K là khoảng, khoảng hay nửa khoảng).
- Hàm F (x) được cho là nguyên hàm của hàm f (x) trên K nếu F ‘(x) = f (x) với mọi x ∈ K.
Định lý nguyên thủy
Nguyên hàm có hai định lý cơ bản mà bạn cần nhớ:
- Nếu F (x) là một nguyên hàm của hàm f (x) trên K, thì với mỗi hằng số C, hàm G (x) = F (x) + C cũng là một nguyên hàm của f (x) trên K.
- Nếu F (x) là một nguyên hàm của hàm f (x) trên K, thì mọi nguyên hàm của f (x) trên K đều có dạng F (x) + C, trong đó C là hằng số. Do đó F (x) + C, C ∈ R là họ tất cả các nguyên hàm của f (x) trên K. Kí hiệu ∫f (x) dx = F (x) + C.
Thuộc tính nguyên thủy
Dưới đây là 3 thuộc tính phổ biến của Nguyên hàm toán 12:
- Tính năng 1:
(\smallint f(x)dx)'= f(x) \small{\text{ và }} \smallint f'(x)dx = f(x) + C
- Tính năng 2:
\smallint kf(x)dx = k\smallint{f(x)dx} \small{\text{ với k là hằng số khác 0}}
- Tính năng 3:
\smallint [f(x) \pm g(x)]dx = \smallint f(x)dx \pm \smallint g(x)dx
Bảng tổng hợp 12 công thức toán nguyên thủy thông dụng
>>> Xem thêm: Bảng Công Thức Nguyên Tố Đầy Đủ, Chi Tiết Và Cách Giải Nguyên Tố
Video học toán lớp 12, lý thuyết và giải bài tập
> Xem thêm: Phép toán đạo hàm
Giải bài tập SGK toán 12 nguyên hàm
Đây là lời giải bài tập SGK Toán 12 nguyên bản và ứng dụng lý thuyết trên đây, các em có thể tham khảo để nắm rõ hơn phần kiến thức. chức năng nguyên thủy toán 12.
Hàm lượng giác – Công thức và lý thuyết lượng giác đầy đủ nhất
Giải bài 1 SGK Toán 12: Nguyên hàm Trang 100 SGK
Chủ đề
Cặp hàm nào sau đây là nguyên hàm của hàm còn lại?
\begin{aligned}
&a.\ e^{-x} \text{ và } -e^{-x}\\
&b.\ sin2x \text{ và }sin^2x\\
&c. \left( 1-\frac2x \right)^2e^x \text{ và } \left( 1-\frac4x \right) e^x
\end{aligned}
Câu trả lời
\begin{aligned}
&a. \text{ Ta có: }\ [e^{-x}]'= -e^{-x}\\
&\text{Vậy }e^{-x} \text{ là nguyên hàm của }-e^{-x}\\
&b.\text{ Ta có: }\ [sin^2x]'= 2xinxcosx=sin2x\\
&\text{Vậy }sin^2x \text{ là nguyên hàm của }sin2x\\
&c.\text{ Ta có: }\\
& \left[\left( 1-\frac4x\right)e^x\right]'\\
&=\left( 1-\frac4x\right)'e^x+\left( 1-\frac4x\right)(e^x)'\\
&=e^x\left[ 1-\frac4x+\frac{4}{x^2}\right]=\left( 1-\frac2x\right)^2e^x\\
&\text{Vậy }\left( 1-\frac4x\right)e^x \text{ là nguyên hàm của }\left( 1-\frac2x\right)^2e^x\\
\end{aligned}
Giải bài 2 SGK Toán 12: Nguyên hàm Trang 100 SGK
Chủ đề:
\begin{aligned}
& \small \bold{\text{Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:}}
\\
& \small \text{a. } f(x) = \frac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt[3]{x}}
\\
& \small \text{b. } f(x) = \frac{2^x - 1}{e^x}
\\
& \small \text{c. } f(x) = \frac{1}{sin^2x.cos^2x}
\\
& \small \text{d. } f(x) = sin5x.cos3x
\\
& \small \text{e. } f(x) = tan^2x
\\
& \small \text{g. } f(x) = e^{3-2x}
\\
& \small \text{h. } f(x) = \frac{1}{(1+x)(1-2x)}
\\
& \small \bold{\text{Lời giải:}}
\\
& \small \text{a. } \int \frac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt[3]{x}}
\\
& \small = \int \left( x + x^{\frac12} + 1 \right). x^{\frac{-1}{3}}dx
\\
& \small = \int \left( x^{\frac23} + x^{\frac16} + x^{\frac{-1}{3}} \right)dx
\\
& \small = \int x^{\frac23}dx + \int x^{\frac16}dx + \int x^{\frac{-1}{3}}dx
\\
& \small = \frac35x^{\frac53} + \frac67x^{\frac76} + \frac32x^{\frac23} + C
\\
& \small = \frac35.x\sqrt[3]{x^2} + \frac67.x\sqrt[6]{x} + \frac32.\sqrt[3]{x^2} + C
\\
& \small \text{b. } \int \frac{2^x - 1}{e^x}
\\
& \small = \int \left[ \left( \frac2e \right)^x - \left( \frac1e \right)^x \right]
\\
& \small = \int \left( \frac2e \right)^xdx - \int e^{-x}dx
\\
& \small = \frac{\left( \frac2e \right)^x}{ln\left( \frac2e \right)} + e^{-x} + C
\\
& \small = \frac{2^x}{e^x.(ln2 - 1)} + e^{-x} + C
\\
& \small \text{c. } \int \frac{1}{sin^2x.cos^2x}dx
\\
& \small = \int \frac{sin^2x + sin^2x}{sin^2x.cos^2x}dx
\\
& \small = \int \left( \frac{1}{cos^2x} + \frac{1}{sin^2x} \right)dx
\\
& \small = \int \frac{1}{cos^2x}dx+ \int \frac{1}{sin^2x}dx
\\
& \small = tanx - cotx + C
\\
& \small \text{d. } \int sin5x.cos3xdx
\\
& \small = \int \frac12(sin8x + sin2x)dx
\\
& \small = \int \frac12sin8xdx + \int \frac12sin2xdx
\\
& \small = -\frac{1}{16}cos8x - \frac14cos2x + C
\\
& \small \text{e. } \int tan^2xdx
\\
& \small = \int \left( \frac{1}{cos^2x - 1}\right)dx
\\
& \small = \int \frac{1}{cos^2x - 1}dx - \int dx
\\
& \small = tanx - x + C
\\
& \small \text{g. } \int e^{3-2x}dx
\\
& \small \text{Đặt t = 3-2x}
\\
& \small \implies dt = -2dx
\\
& \small \iff dx = -\frac{dt}{2}
\\
& \small \int e^{3-2x}dx
\\
& \small = \int e^t.-\frac{dt}{2}
\\
& \small = -\frac12 \int e^t dt
\\
& \small = -\frac12e^t + C
\\
& \small = -\frac12e^{3-2x} + C
\\
& \small \text{h. } \int \frac{1}{(1+x)(1-2x)}dx
\\
& \small = \int \left[ \frac{1}{3(1+x)} + \frac{2}{3(1-2x)} \right]dx
\\
& \small = \frac13 \int \frac{1}{1+x}dx + \frac23 \int \frac{1}{1-2x}dx (*)
\\
& \small \text{Xét } \int \frac{1}{1+x}dx
\\
& \small \text{Đặt } t = 1+x
\\
& \small \implies dt = dx
\\
& \small \int \frac{1}{1+x}dx
\\
& \small = \int \frac{1}{t}dt
\\
& \small = ln|t| + C_1 = ln|1+x| + C_1 (1)
\\
& \small \text{Xét } \int \frac{1}{1-2x}dx
\\
& \small \text{Đặt } t = 1-2x
\\
& \small \implies dt = -2dx
\\
& \small \iff dx = -\frac{dt}{2}
\\
& \small \int \frac{1}{1-2x}dx
\\
& \small = -\frac12 \int \frac{1}{t}dt
\\
& \small = -\frac12ln|t| + C_2 = -\frac12ln|1-2x| + C_2 (2)
\\
& \small \text{Từ (1) và (2)}
\\
& \small (*) = \frac13 ln|1+x| - \frac13ln|1-2x| + C
\\
& \small = \frac13 ln|\frac{1+x}{1-2x}| + C
\end{aligned}
Giải bài 3 Trang 101 SGK Toán 12
Chủ đề:
\begin{aligned}
& \small \text{Sử dụng phương pháp đổi biến số, tính các nguyên hàm dưới đây:}
\\
& \small \text{a. } \int (1-x)^9dx \text{ (đặt } u = 1 - x)
\\
& \small \text{b. } \int x(1+x^2)^{\frac32}dx \text{ (đặt } u = 1 + x^2)
\\
& \small \text{c. } \int cos^3x.sinxdx \text{ (đặt } t = cosx)
\\
& \small \text{d. } \int \frac{dx}{e^x + e^{-x} + 2} \text{ (đặt } u = e^x + 1)
\\
& \small \text{Lời giải:}
\\
& \small \text{a. Đặt } u = 1 - x \implies du = -dx \iff dx = - du
\\
& \small \int (1-x)^9dx = -\int u^9du = -\frac{u^{10}}{10} + C = -\frac{(1-x)^{10}}{10} + C
\\
& \small \text{b. Đặt } u = 1 + x^2 \implies du = 2xdx \iff xdx = \frac{du}{2}
\\
& \small \int x(1+x^2)^{\frac32}dx = \frac12 \int u^{\frac32}du = \frac15u^{\frac52} + C = \frac15(1 + x^2)^{\frac52} + C
\\
& \small \text{c. Đặt } t = cosx \implies dt = -sinxdx \iff sinxdx = -dt
\\
& \small \int cos^3x.sinxdx = -\int t^3dt = -\frac{t^4}{4} + C = -\frac{cos^4x}{4} + C
\\
& \small \text{d. Đặt } u = e^x + 1 \implies du = e^xdx
\\
& \small \int \frac{dx}{e^x + e^{-x} + 2} = \int \frac{e^x}{e^{2x} + 1 + 2e^x}dx = \frac{e^x}{(e^x + 1)^2}dx = \int \frac{1}{u^2}du = -\frac{1}{u} + C = -\frac{1}{e^x + 1} + C
\end{aligned}
Giải bài 4 Trang 101 SGK Toán 12
Chủ đề:
\begin{aligned}
& \small \text{Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần để tính các nguyên hàm dưới đây:}
\\
& \small \text{a. } \int xln(1+x)dx
\\
& \small \text{b. } \int (x^2+2x-1)e^xdx
\\
& \small \text{c. } \int xsin(2x+1)dx
\\
& \small \text{d. } \int (1-x)cosxdx
\\
& \small \text{Phương pháp nguyên hàm từng phần:}
\\
& \small \text{Đặt }
\begin{cases}
u = u(x)
\\
dv = v'(x)dx
\end{cases}
\iff
\begin{cases}
du = u'(x)dx
\\
v = v(x)
\end{cases}
\\
& \small \implies \int f(x)dx = u(x)v(x) - \int u'(x)v(x)dx
\\
& \small \text{Lời giải:}
\\
& \small \text{a. } \int xln(1+x)dx
\\
& \small \text{Đặt }
\begin{cases}
u = ln(1+x)
\\
dv = xdx
\end{cases}
\iff
\begin{cases}
du = \frac{1}{x+1}dx
\\
v = \frac{x^2}{2}
\end{cases}
\\
& \small \int xln(1+x)dx
\\
& \small = \frac{x^2}{2}ln(1+x) - \int \frac{x^2}{2(x+1)}dx
\\
& \small = \frac{x^2}{2}ln(1+x) - \frac12 \int \left( x-1+\frac{1}{x+1} \right)dx
\\
& \small = \frac{x^2}{2}ln(1+x) - \frac12 \left[ \frac{x^2}{2} - x + ln(1+x) \right]+ C
\\
& \small = \frac12(x^2-1)ln(1+x) - \frac{x^2}{4} + \frac{x}{2} + C
\\
& \small \text{b. } \int (x^2+2x-1)e^xdx
\\
& \small \text{Đặt }
\begin{cases}
u = x^2+2x-1
\\
dv = e^xdx
\end{cases}
\iff
\begin{cases}
du = (2x+2)dx
\\
v = e^x
\end{cases}
\\
& \small \int (x^2+2x-1)e^xdx
\\
& \small = (x^2+2x-1)e^x - 2\int (x+1)e^xdx \ (*)
\\
& \small \text{Xét } \int (x+1)e^xdx
\\
& \small \text{Đặt }
\begin{cases}
u = x+1
\\
dv = e^xdx
\end{cases}
\iff
\begin{cases}
du = dx
\\
v = e^x
\end{cases}
\\
& \small \int (x+1)e^xdx = (x+1)e^x - \int e^xdx = (x+1)e^x - e^x + C = xe^x + C
\\
& \small (*) = (x^2+2x-1)e^x - 2xe^xdx + C
\\
& \small = (x^2-1)e^x + C
\\
& \small \text{c. } \int xsin(2x+1)dx
\\
& \small \text{Đặt }
\begin{cases}
u = x
\\
dv = sin(2x+1)dx
\end{cases}
\iff
\begin{cases}
du = dx
\\
v = -\frac12cos(2x+1)
\end{cases}
\\
& \small \int xsin(2x+1)dx
\\
& \small = -\frac12xcos(2x+1) + \frac12 \int cos(2x+1)dx
\\
& \small = -\frac12xcos(2x+1) + \frac14sin(2x+1)dx + C
\\
& \small \text{d. } \int (1-x)cosxdx
\\
& \small \text{Đặt }
\begin{cases}
u = 1-x
\\
dv = cosdx
\end{cases}
\iff
\begin{cases}
du = - dx
\\
v = sinx
\end{cases}
\\
& \small \int (1-x)cosxdx
\\
& \small = (1-x)sinx + \int sinxdx
\\
& \small = (1-x)sinx - cosx + C
\end{aligned}
>>> Xem thêm: Phần Nguyên hàm – Công thức và Phương pháp giải
Phương trình lượng giác cơ bản và các dạng bài tập có lời giải
Giải câu 6 Trang 99 SGK Toán 12
Chủ đề:
\begin{aligned}
& \small \text{a. Cho } \int (x-1)^{10}dx. \text{ Đặt u=x-1, hãy viết } (x-1)^{10}dx \text{ theo u và du}
\\
& \small \text{b. Cho } \int \frac{lnx}{x}dx. \text{ Đặt } x=e^t, \text{ hãy viết } \int \frac{lnx}{x}dx \text{ theo t và dt}
\\
& \small \text{Lời giải}
\\
& \small \text{a. Theo đề bài, ta đặt } u=x-1 \implies x=u+1 \implies dx = du \implies (x-1)^{10}dx = u^{10}du
\\
& \small \text{b. Theo đề bài, ta đặt } x=e^t \implies dx = e^tdt \implies \frac{lnx}{x}dx = \frac{ln(e^t)}{e^t}e^tdt = tdt
\\
\end{aligned}
Giải câu 7 Trang 99 SGK Toán 12
Chủ đề:
Ta có: (xcosx) ′ = cosx – xsinx hoặc −xsinx = (xcosx) ′ – cosx. Tính ∫ (xcosx) ′ dx và ∫cosxdx. Từ đó tính ∫xsinxdx
Câu trả lời:
Ta có (xcosx) ′ dx = xcosx + CĐầu tiên và cosxdx = sinx + C2
Dựa vào công thức trong bài toán, ta có
∫xsinxdx = −∫ (−xsinx) dx = −∫[(xcosx)′ − cosx]dx = −∫ (xcosx) dx + cosxdx = −xcosx – CĐầu tiên + sinx + C2 = −xcosx + sinx + C
Giải câu 8 Trang 99 SGK Toán 12
Chủ đề:
Gọi P (x) là một đa thức của x. Từ ví dụ 9, lập bảng theo mẫu dưới đây, sau đó điền vào ô trống với u và dv thích hợp bằng phương pháp đạo hàm riêng.
| ∫P (x) exdx | ∫P (x) cosxdx | ∫P (x) lnxdx | |
| u | P (x) | ||
| dv | exdx |
Câu trả lời:
| P (x) exdx | ∫P (x) cosxdx | ∫P (x) lnxdx | |
| u | P (x) | P (x) | lnx |
| dv | exdx | cosxdx | P (x) dx |
Học trực tuyến livestream Toán – Lý – Hóa – Văn – Anh – Sinh để bứt phá điểm số 2022 – 2023 tại
Giáo dục là Nền tảng học Toán – Lý – Hóa – Văn – Anh – Sinh trực tuyến uy tín và chất lượng nhất Việt Nam Dành cho học sinh từ lớp 8 đến lớp 12. Với nội dung chương trình học bám sát khung chương trình của Bộ Giáo dục và Đào tạo, sẽ giúp các em lấy lại hành trang, bứt phá về điểm số và nâng cao thành tích của mình. nghiên cứu.
Lý thuyết hàm số mũ và logarit | Sách giáo khoa Toán lớp 12
Tại , trẻ em sẽ được giảng dạy bởi các giáo viên từ TOP 1% giáo viên giỏi toàn quốc. Các giáo viên đều có trình độ Thạc sĩ trở lên với hơn 10 năm kinh nghiệm giảng dạy và có nhiều thành tích xuất sắc trong sự nghiệp giáo dục. Với phương pháp giảng dạy sáng tạo, dễ tiếp cận giáo viên sẽ giúp học viên tiếp thu kiến thức một cách nhanh chóng và dễ dàng.
Giáo dục cũng có sẵn Đội ngũ cố vấn học tập chuyên nghiệp luôn theo sát quá trình học tập của các em, hỗ trợ các em giải đáp mọi thắc mắc trong quá trình học và cá nhân hóa lộ trình học tập của các em.
Với ứng dụng tích hợp thông tin dữ liệu và nền tảng công nghệ, mỗi lớp học của luôn được đảm bảo Đường truyền ổn định, hạn chế giật / lag tối đa với chất lượng hình ảnh và âm thanh tốt nhất.
Nhờ nền tảng học tập livestream trực tuyến mô phỏng lớp học offline, học viên có thể tương tác trực tiếp với giáo viên dễ dàng như khi học tại trường.
Khi trở thành học viên của , bạn cũng sẽ nhận được Cẩm nang Toán – Lý – Hóa “siêu hay” Tổng hợp tất cả các công thức và nội dung khóa học được biên soạn cẩn thận, chi tiết và kỹ lưỡng giúp học sinh dễ học và ghi nhớ kiến thức hơn.
cam kết tăng 8+ hoặc ít nhất 3 điểm cho học sinh. Nếu bạn không đạt số điểm như cam kết, sẽ hoàn trả 100% học phí cho bạn. Hãy nhanh tay đăng ký livestream trực tuyến Toán – Lý – Hóa – Văn lớp 8 – 12 năm học 2022 – 2023 tại ngay hôm nay để được hưởng mức học phí siêu ưu đãi lên đến 39%, giảm từ 699K chỉ còn 399K.
Trong bài viết trên, Team đã tổng hợp và chia sẻ đến các bạn nội dung Nguyên hàm Toán 12 lý thuyết và lời giải đầy đủ, chi tiết các bài tập trong SGK. Mong rằng các em sẽ nắm vững phần kiến thức này, từ đó học tốt môn Toán hơn. Hãy theo dõi mỗi ngày để biết thêm nhiều kiến thức bổ ích nhé! Chúc may mắn với các nghiên cứu của bạn!
Nhớ để nguồn: Toán 12 Nguyên Hàm – Lý Thuyết, Công Thức Và Các Dạng Bài Tập